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Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome auf dem Einheitskreis. Sie sind orthogonal bezüglich des Skalarprodukts ⟨ ⟨ f , g ⟩ ⟩ = ∬ ∬ x 2 + y 2 ≤ ≤ 1 f ( x , y ) g ( x , y ) d x d y {\displaystyle \langle f,g\rangle =\iint _{x^{2}+y^{2}\leq 1}f(x,y)g(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y} in kartesischen beziehungsweise ⟨ ⟨ f , g ⟩ ⟩ = ∫ ∫ ϕ ϕ = 0 2 π π ∫ ∫ ρ ρ = 0 1 f ( ρ ρ , ϕ ϕ ) g ( ρ ρ , ϕ ϕ ) ρ ρ d ρ ρ d ϕ ϕ {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\phi =0}^{2\pi }\int _{\rho =0}^{1}f(\rho ,\phi )g(\rho ,\phi )\rho \mathrm {d} \rho \mathrm {d} \phi } in Polarkoordinaten.

Die Zernike Polynome spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt bezüglich ϕ ϕ {\displaystyle \phi } gerade und ungerade Zernike-Polynome.

Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

Z n + m ( ρ ρ , ϕ ϕ ) = R n m ( ρ ρ ) cos ⁡ ⁡ m ϕ ϕ {\displaystyle Z_{n}^{+m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos m\phi } , also Z n + m ( ρ ρ , − − ϕ ϕ ) = Z n + m ( ρ ρ , ϕ ϕ ) {\displaystyle Z_{n}^{+m}(\rho ,-\phi )=Z_{n}^{+m}(\rho ,\phi )} ,

und die ungeraden durch

Z n − − m ( ρ ρ , ϕ ϕ ) = R n m ( ρ ρ ) sin ⁡ ⁡ m ϕ ϕ {\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin m\phi } , also Z n − − m ( ρ ρ , − − ϕ ϕ ) = − − Z n − − m ( ρ ρ , ϕ ϕ ) {\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,-\phi )=-Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )}

wobei m {\displaystyle m} und n {\displaystyle n} nichtnegative ganze Zahlen sind. Zusätzlich wird gefordert, dass m ≤ ≤ n {\displaystyle m\leq n} und n − − m {\displaystyle n-m} gerade ist. ϕ ϕ {\displaystyle \phi } ist der azimutale Winkel und ρ ρ {\displaystyle \rho } ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome R n m {\displaystyle R_{n}^{m}} sind definiert gemäß

R n m ( ρ ρ ) = ∑ ∑ k = 0 ( n − − m ) / 2 ( − − 1 ) k ( n − − k ) ! k ! ( ( n + m ) / 2 − − k ) ! ( ( n − − m ) / 2 − − k ) ! ρ ρ n − − 2 k {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(n-m)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\,k}} ,

wenn n − − m {\displaystyle n-m} gerade ist und R n m ( ρ ρ ) = 0 {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=0} , wenn n − − m {\displaystyle n-m} ungerade ist.

In dieser Form sind sie zu R n m ( 1 ) = 1 {\displaystyle R_{n}^{m}(1)=1} normiert.

• Eigenschaften

• Anwendungen

• Literatur

• Weblinks

• Einzelnachweise

Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils R n m {\displaystyle R_{n}^{m}} und eines winkelabhängigen Teils G m {\displaystyle G^{m}} :

Z n ± ± m ( ρ ρ , ϕ ϕ ) = R n m ( ρ ρ ) ⋅ ⋅ G m ( ϕ ϕ ) . {\displaystyle Z_{n}^{\pm m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\cdot G^{m}(\phi )\!.}

Zernike-Polynome werden üblicherweise in Polarkoordinaten angegeben. Mit x = ρ ρ cos ⁡ ⁡ ϕ ϕ {\displaystyle x=\rho \cos \phi } und y = ρ ρ sin ⁡ ⁡ ϕ ϕ {\displaystyle y=\rho \sin \phi } umgewandelt auf kartesische Koordinaten sind die Zernike-Polynome Z n ± ± m {\displaystyle Z_{n}^{\pm m}} bivariate Polynome in x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} .cite-ref-1[1]

Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel 2 π π / m {\displaystyle 2\pi /m} ändert den Wert des Polynoms nicht:

G m ( ϕ ϕ + 2 π π / m ) = G m ( ϕ ϕ ) . {\displaystyle G^{m}(\phi +2\pi /m)=G^{m}(\phi )\!.}

Der radiusabhängige Teil R n m ( ρ ρ ) {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )} ist ein Polynom über ρ ρ {\displaystyle \rho } vom Grad n {\displaystyle n} , welches nur Potenzen ρ ρ k {\displaystyle \rho ^{k}} mit m ≤ ≤ k ≤ ≤ n {\displaystyle m\leq k\leq n} und k − − m {\displaystyle k-m} gerade enthält. Dadurch sind ρ ρ k cos ⁡ ⁡ ( m ϕ ϕ ) {\displaystyle \rho ^{k}\cos(m\phi )} und ρ ρ k sin ⁡ ⁡ ( m ϕ ϕ ) {\displaystyle \rho ^{k}\sin(m\phi )} und somit auch die Zernike-Polynome in kartesischen Koordinaten als Polynome in x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} darstellbar, vgl. Winkelfunktionen für weitere Vielfache.

| Polynom | Polarkoordinaten | Kartesische Koordinaten | Wellenoptische Interpretation |

|---|---|---|---|

| Z 0 0 {\displaystyle Z_{0}^{0}} | 1 {\displaystyle 1} | 1 {\displaystyle 1} | Mittelwert (Piston) |

| Z 1 − 1 {\displaystyle Z_{1}^{-1}} | ρ sin ⁡ ϕ {\displaystyle \rho \sin \phi } | y {\displaystyle y} | Verschwenkung in der horizontalen Achse |

| Z 1 1 {\displaystyle Z_{1}^{1}} | ρ cos ⁡ ϕ {\displaystyle \rho \cos \phi } | x {\displaystyle x} | Verschwenkung in der vertikalen Achse |

| Z 2 0 {\displaystyle Z_{2}^{0}} | − 1 + 2 ρ 2 {\displaystyle -1+2\rho ^{2}} | − 1 + 2 ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle -1+2(x^{2}+y^{2})} | Defokussierung |

| Z 2 − 2 {\displaystyle Z_{2}^{-2}} | ρ 2 sin ⁡ ( 2 ϕ ) {\displaystyle \rho ^{2}\sin(2\phi )} | 2 x y {\displaystyle 2xy} | Astigmatismus schräg (45°) zu den Hauptachsen |

| Z 2 2 {\displaystyle Z_{2}^{2}} | ρ 2 cos ⁡ ( 2 ϕ ) {\displaystyle \rho ^{2}\cos(2\phi )} | x 2 − y 2 {\displaystyle x^{2}-y^{2}} | Astigmatismus in den Hauptachsen |

| Z 3 − 1 {\displaystyle Z_{3}^{-1}} | ( 3 ρ 3 − 2 ρ ) sin ⁡ ϕ {\displaystyle (3\rho ^{3}-2\rho )\sin \phi } | 3 y ( x 2 + y 2 ) − 2 y {\displaystyle 3y(x^{2}+y^{2})-2y} | Koma , horizontale Achse |

| Z 3 1 {\displaystyle Z_{3}^{1}} | ( 3 ρ 3 − 2 ρ ) cos ⁡ ϕ {\displaystyle (3\rho ^{3}-2\rho )\cos \phi } | 3 x ( x 2 + y 2 ) − 2 x {\displaystyle 3x(x^{2}+y^{2})-2x} | Koma, vertikale Achse |

| Z 4 0 {\displaystyle Z_{4}^{0}} | 6 ρ 4 − 6 ρ 2 + 1 {\displaystyle 6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1} | 6 ( x 2 + y 2 ) 2 − 6 ( x 2 + y 2 ) + 1 {\displaystyle 6(x^{2}+y^{2})^{2}-6(x^{2}+y^{2})+1} | Sphärische Aberration |

R n m {\displaystyle R_{n}^{m}} ist eine bezüglich ρ ρ {\displaystyle \rho } gerade (ungerade) Funktion, wenn m {\displaystyle m} gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil R n m {\displaystyle R_{n}^{m}} stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome P n ( α α , β β ) ( z ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)} dar.

R n m ( ρ ρ ) = ( − − 1 ) ( n − − m ) / 2 ρ ρ m P ( n − − m ) / 2 ( m , 0 ) ( 1 − − 2 ρ ρ 2 ) {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{(n-m)/2}\rho ^{m}P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho ^{2})}

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

R 0 0 ( ρ ρ ) = 1 {\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1}

R 1 1 ( ρ ρ ) = ρ ρ {\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho }

R 2 0 ( ρ ρ ) = 2 ρ ρ 2 − − 1 {\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1}

R 2 2 ( ρ ρ ) = ρ ρ 2 {\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}}

R 3 1 ( ρ ρ ) = 3 ρ ρ 3 − − 2 ρ ρ {\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho }

R 3 3 ( ρ ρ ) = ρ ρ 3 {\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}}

R 4 0 ( ρ ρ ) = 6 ρ ρ 4 − − 6 ρ ρ 2 + 1 {\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1}

R 4 2 ( ρ ρ ) = 4 ρ ρ 4 − − 3 ρ ρ 2 {\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}}

R 4 4 ( ρ ρ ) = ρ ρ 4 {\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}}

R 5 1 ( ρ ρ ) = 10 ρ ρ 5 − − 12 ρ ρ 3 + 3 ρ ρ {\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho }

R 5 3 ( ρ ρ ) = 5 ρ ρ 5 − − 4 ρ ρ 3 {\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}}

R 5 5 ( ρ ρ ) = ρ ρ 5 {\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}}

R 6 0 ( ρ ρ ) = 20 ρ ρ 6 − − 30 ρ ρ 4 + 12 ρ ρ 2 − − 1 {\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1}

Allgemein ist R n n ( ρ ρ ) = ρ ρ n . {\displaystyle R_{n}^{n}(\rho )=\rho ^{n}.}

In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt, um Abbildungsfehler optischer Systeme quantitativ zu erfassen. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

Commons

: Zernike-Polynom

– Sammlung von Bildern

• Frits Zernike: „Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und seiner verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode.“ Physica 1, 689–704, 1934.

• Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.

• Eric W. Weisstein: Zernike Polynomial. In: MathWorld (englisch).

cite-note-11. ↑ Lakshminarayanan & Fleck, Review, 2011: Zernike polynomials: A guide.

cite-note-21. Wyant - Zernike Polynomials For The Web.